CCF-CSP真题《202309-3 梯度求解》思路+python，c++满分题解

背景

西西艾弗岛运营公司近期在大力推广智能化市政管理系统。这套系统是由西西艾弗岛信息中心研发的。它的主要目的是，通过详细评估岛上各处的市政设施的状况，来指导市政设施的维护和更新。这套系统的核心是一套智能化的传感器网络，它能够自动地对岛上的市政设施进行评估。对市政设施的维护是需要一定成本的，而年久失修的市政设施也可能给岛上的居民造成损失。为了能够平衡成本和收益，信息中心研发了一款数学模型，描述这些变量和损益之间的复杂数学关系。要想得到最优化的成本，就要依靠梯度下降算法来求解。

梯度下降算法中，求解函数在一点处对某一自变量的偏导数是十分重要的。小 C 负责实现这个功能，但是具体的技术实现，他还是一头雾水，希望你来帮助他完成这个任务。

问题描述

设被求算的函数 u=f(x1,x2,…,xn)，本题目要求你求出 u 对 xi 在 (a1,a2,…,an) 处的偏导数 ∂u∂xi(a1,a2,…,an)。

求算多元函数在一点处对某一自变量的偏导数的方法是：将函数的该自变量视为单一自变量，其余自变量认为是常数，运用一元函数求导的方法求出该偏导数表达式，再代入被求算的点的坐标即可。

例如，要求算 u=x1⋅x1⋅x2 对 x1 在 (1,2) 处的偏导数，可以将 x2 视为常数，依次应用求导公式。先应用乘法的求导公式：(x1⋅(x1⋅x2))′=x1′(x1⋅x2)+x1(x1⋅x2)′；再应用常数与变量相乘的求导公式，得到 x1′⋅x1⋅x2+x1⋅x2⋅x1′；最后应用公式 x′=1 得到 1⋅x1⋅x2+x1⋅x2⋅1。整理得 ∂u∂x1=2x2⋅x1。再代入 (1,2) 得到 ∂u∂x1(1,2)=4。

常见的求导公式有：

• （是常数）c′=0 （c是常数）
• x′=1
• (u+v)′=u′+v′
• （是常数）(cu)′=cu′ （c是常数）
• (u−v)′=u′−v′
• (uv)′=u′v+uv′

本题目中，你需要求解的函数 f 仅由常数、自变量和它们的加法、减法、乘法组成。且为程序识读方便，函数表达式已经被整理为逆波兰式（后缀表达式）的形式。例如，x1⋅x1⋅x2 的逆波兰式为 x1 x1 * x2 *。逆波兰式即为表达式树的后序遍历的结果。若要从逆波兰式还原原始计算算式，可以按照这一方法进行：假设存在一个空栈 S，依次读取逆波兰式的每一个元素，若读取到的是变量或常量，则将其压入 S 中；若读取到的是计算符号，则从 S 中取出两个元素，进行相应运算，再将结果压入 S 中。最后，若 S 中存在唯一的元素，则该表达式合法，其值即为该元素的值。例如对于逆波兰式 x1 x1 * x2 *，按上述方法读取，栈 S 的变化情况依次为（左侧是栈底，右侧是栈顶）：

1. x1；
2. x1，x1；
3. (x1⋅x1)；
4. (x1⋅x1)，x2；
5. ((x1⋅x1)⋅x2)。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入的第一行是由空格分隔的两个正整数 n、m，分别表示要求解函数中所含自变量的个数和要求解的偏导数的个数。

输入的第二行是一个逆波兰式，表示要求解的函数 f。其中，每个元素用一个空格分隔，每个元素可能是：

• 一个自变量 xi，用字符 x 后接一个正整数表示，表示第 i 个自变量，其中 i=1,2,…,n。例如，x1 表示第一个自变量 x1。
• 一个整常数，用十进制整数表示，其值在 −105 到 105 之间。
• 一个运算符，用 + 表示加法，- 表示减法，* 表示乘法。

输入的第三行到第 m+2 行，每行有 n+1 个用空格分隔的整数。其中第一个整数是要求偏导数的自变量的编号 i=1,2,…,n，随后的整数是要求算的点的坐标 a1,a2,…,an。
输入数据保证，对于所有的 i=1,2,…,n，ai 都在 −105 到 105 之间。

输出格式

输出到标准输出中。

输出 m 行，每行一个整数，表示对应的偏导数对 109+7 取模的结果。即若结果为 y，输出为 k，则保证存在整数 t，满足 y=k+t⋅(109+7) 且 0≤k<109+7。

样例 1 输入

2 2
x1 x1 x1 * x2 + *
1 2 3
2 3 4

样例 1 输出

15
3

样例 1 说明

读取逆波兰式，可得被求导的式子是：u=x1⋅(x1⋅x1+x2)，即 u=x13+x1x2。

对 x1 求偏导得 ∂u∂x1=3x12+x2。代入 (2,3) 得到 ∂u∂x1(2,3)=15。

对 x2 求偏导得 ∂u∂x2=x1。代入 (3,4) 得到 ∂u∂x2(3,4)=3。

样例 2 输入

3 5
x2 x2 * x2 * 0 + -100000 -100000 * x2 * -
3 100000 100000 100000
2 0 0 0
2 0 -1 0
2 0 1 0
2 0 100000 0

样例 2 输出

0
70
73
73
999999867

样例 2 说明

读取逆波兰式，可得被求导的式子是：u=x2⋅x2⋅x2+0−(−105)⋅(−105)⋅x2，即 u=x23−1010x2。

因为 u 中实际上不含 x1 和 x3，对这两者求偏导结果均为 0。

对 x2 求偏导得 ∂u∂x2=3x22−1010。

评测用例规模与约定

提示

C++ 中可以使用 std::getline(std::cin, str) 读入字符串直到行尾。

当计算整数 n 对 M 的模时，若 n 为负数，需要注意将结果调整至区间 [0,M) 内。