python求定积分：quad函数

文章目录

• • 示例
  • 完整参数
  • weight参数

示例

quad是scipy.integrate中最常用的积分函数，示例如下

import numpy as np from scipy.integrate import quad func = lambda x: x**2 quad(func, 0, 4) # (21.333333333333332, 2.3684757858670003e-13) quad(np.sin, 0, np.pi) # (2.0, 2.220446049250313e-14)

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在上面的代码中，func为待积分函数，后面紧跟着的两个参数表示积分的下界和上界。返回值有二，分别为积分结果和计算误差。

用于测试的两个函数的解析形式如下，可见计算结果吻合。

∫ 0 4 x 2 d x = 1 3 x 3 ∣ 0 4 = 64 3 ≈ 21.3 ∫ 0 π sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x ∣ 0 π = 2 \int_0^4 x^2\text dx=\frac{1}{3}x^3\big|^4_0=\frac{64}{3}\approx 21.3\\ \int^\pi_0\sin x\text dx=-\cos x\big|^\pi_0=2 ∫04​x2dx=31​x3 ​04​=364​≈21.3∫0π​sinxdx=−cosx ​0π​=2

完整参数

quad的完整参数如下

scipy.integrate.quad(func, a, b, args=(), full_output=0, epsabs=1.49e-08, epsrel=1.49e-08, limit=50, points=None, weight=None, wvar=None, wopts=None, maxp1=50, limlst=50, complex_func=False)

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其中，

• args为func函数中，除待求积分参数之外的其他参数
• epsabs, epsrel 分别为绝对和相对误差
• limit 自适应算法中子区间的个数
• points 断点位置
• weight, wvar 定义域区间内的权重类型和权重
• wopts, maxp1 切比雪夫矩及其上限

weight参数

其中，weight和wvar参数的具体取值如下。

weight	wvar	函数
“cos”	w w w	cos ⁡ w x \cos wx coswx
“sin”	w w w	sin ⁡ w x \sin wx sinwx
“alg”	α , β \alpha, \beta α,β	g ( x ) g(x) g(x)
“alg-loga”	α , β \alpha, \beta α,β	g ( x ) log ⁡ ( x − a ) g(x)\log(x-a) g(x)log(x−a)
“alg-logb”	α , β \alpha, \beta α,β	g ( x ) log ⁡ ( b − x ) g(x)\log(b-x) g(x)log(b−x)
“alg-log”	α , β \alpha, \beta α,β	g ( x ) log ⁡ ( x − a ) log ⁡ ( b − x ) g(x)\log(x-a)\log(b-x) g(x)log(x−a)log(b−x)
“cauchy”	c c c	1 x − c \frac{1}{x-c} x−c1​

其中， g ( x ) = ( x − a ) α ∗ ( b − x ) β g(x)=(x-a)^\alpha*(b-x)^\beta g(x)=(x−a)α∗(b−x)β

设func为 f ( x ) = x f(x)=x f(x)=x，若weight参数为cos，而wvar取值为 w w w，则实际计算的积分表达式为

∫ a b cos ⁡ w f ( x ) d x \int_a^b\cos wf(x)\text dx ∫ab​coswf(x)dx

示例如下

func = lambda x : x quad(func, 0, np.pi) # (4.934802200544679, 5.478731025015592e-14) quad(func, 0, np.pi, weight='cos', wvar=1) # (-1.9999999999999993, 1.926079284799239e-13)

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